如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点(不与A，B重合)，对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N.下列结论：①△APE≌△AME；②PM＋PN＝BD；③PE2＋PF2＝PO2.其中正确的有(　　)

A．0个                       B．1个                       C．2个                       D．3个

【回答】

D

【分析】

依据正方形的*质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△APE和△AME中， ∠BAC＝∠DAC AE＝AE ∠AEP＝∠AEM， ∴△APE≌△AME（ASA），

故①正确； ∴PE＝EM＝PM， 同理，FP＝FN＝NP． ∵正方形ABCD中，AC⊥BD， 又∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，且△APE中AE＝PE ∴四边形PEOF是矩形． ∴PF＝OE， ∴PE＋PF＝OA， 又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC， ∴PM＋PN＝AC，∴PM+PN=BD；

故②正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴∠OEP＝∠EOF＝∠OFP＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴OE＝PF，OF＝PE， 在直角△OPF中，OE²＋PE²＝PO²， ∴PE²＋PF²＝PO²，

故③正确；

∴正确的有3个，

故选：D

【点睛】

本题是正方形的*质、矩形的判定、勾股定理的综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．

知识点：三角形全等的判定

题型：选择题