如图1,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点...
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如图1,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F. (1)求*:△ABF≌△BCE; (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求*:DC=DG; (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求的值.
【回答】
(1)*:∵BF⊥CE, ∴∠CGB=90°, ∴∠GCB+∠CBG=90, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠CBE=90°=∠A,BC=AB, ∴∠FBA+∠CBG=90, ∴∠GCB=∠FBA, ∴△ABF≌△BCE(ASA); (2)*:如图2,过点D作DH⊥CE于H, 设AB=CD=BC=2a, ∵点E是AB的中点, ∴EA=EB=AB=a, ∴CE=a, 在Rt△CEB中,根据面积相等,得BG•CE=CB•EB, ∴BG=a, ∴CG==a, ∵∠DCE+∠BCE=90°,∠CBF+∠BCE=90°, ∴∠DCE=∠CBF, ∵CD=BC,∠CQD=∠CGB=90°, ∴△CQD≌△BGC(AAS), ∴CQ=BG=a, ∴GQ=CG-CQ=a=CQ, ∵DQ=DQ,∠CQD=∠GQD=90°, ∴△DGQ≌△CDQ(SAS), ∴CD=GD; (3)解:如图3,过点D作DH⊥CE于H, S△CDG=•DQ=CH•DG, ∴CH==a, 在Rt△CHD中,CD=2a, ∴DH==a, ∵∠MDH+∠HDC=90°,∠HCD+∠HDC=90°, ∴∠MDH=∠HCD, ∴△CHD∽△DHM, ∴, ∴HM=a, 在Rt△CHG中,CG=a,CH=a, ∴GH==a, ∵∠MGH+∠CGH=90°,∠HCG+∠CGH=90°, ∴∠QGH=∠HCG, ∴△QGH∽△GCH, ∴, ∴HN==a, ∴MN=HM-HN=a, ∴= 【解析】
(1)先判断出∠GCB+∠CBG=90,再由四边形ABCD是正方形,得出∠CBE=90°=∠A,BC=AB,即可得出结论; (2)设AB=CD=BC=2a,先求出EA=EB=AB=a,进而得出CE=a,再求出BG=a,CG═a,再判断出△CQD≌△BGC(AAS),进而判断出GQ=CQ,即可得出结论; (3)先求出CH=a,再求出DH=a,再判断出△CHD∽△DHM,求出HM=a,再用勾股定理求出GH=a,最后判断出△QGH∽△GCH,得出HN==a,即可得出结论. 此题是相似形综合题,主要考查了全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质,勾股定理,判断出△DGQ≌△CDQ是解本题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题
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