如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，*线E...

问题详情：

如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，*线EM与BC交于点H，连接CM．

（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；

（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；

（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段AD、CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．

【回答】

解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM．在△FME和△BMH中，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH．

∵CD=BC，∴CE=CH1∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．

（2如图2，连接AE，

∵四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴点B、E、D在同一条直线上．

∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M为AF的中点，∴CM=AF，EM=AF，∴CM=ME．

∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°．

∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°﹣135°﹣135°=90°，∴CM⊥ME．

（3）如图3，连接CF，MG，作MN⊥CD于N，

在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD．

∵M为BF的中点，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC．

∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°．

∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的结论成立．

知识点：各地中考

题型：解答题