如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C...
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如图,正方形ABCD中,以AD为底边作等腰△ADE,将△ADE沿DE折叠,点A落到点F处,连接EF刚好经过点C,再连接AF,分别交DE于点G,交CD于点H,下列结论:①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤,其中正确的有__________.
【回答】
①③⑤
【解析】
①:由正方形ABCD的*质以及等腰△EAD的*质*△ABM≌△DCN即可;②③:连接AC,以D为圆心,DA的长度为半径画圆,不难*圆D过点A、E、F,由圆周角定理求出∠AFE的度数,进而求出∠FAE的度数及∠AEF的度数,从而*出△AEF为等腰直角三角形,由折叠可得出∠AED的度数,由等腰△AED的*质求出∠DAE的度数即可求出∠DAF的度数;④:作CK⊥AF交AF于点K,不难求出∠KAC=∠CAE=22.5°,由角平分线的*质可得CK=CE,由直角三角形的*质可得CF>KC,所以CF>CE;⑤:求出∠FDC=∠ACD=45°,*出DF∥AC,从而得出S△DAF=S△DCF,进而得出S△DAH=S△CFH.
【详解】
∵正方形ABCD,
∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°,
∵等腰△ADE,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠BAM=∠CDN,
∵在Rt△ABM与Rt△DCN中,
,
∴△ABM≌△DCN,
故结论①正确;
连接AC,以D为圆心,DA的长度为半径画圆,
由翻折可得AD=DF,AE=EF,
∴圆D经过点A、C、F,
∴∠AFC=45°,
∴∠AFC=∠EAF=45°,
∴∠AEF=90°,
∴∠AED=∠DEF=45°,
∴∠EAD=67.5°,
∴∠DAF=22.5°,
故结论②错误;
∵AE=EF,∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
故结论③正确;
作CK⊥AF交AF于点K,
∵∠EAD=62.5°,∠FAD=22.5°,
∴∠BAM=∠CDN=22.5°,∠KAC=22.5°,
∴∠EAC=22.5°,
∴∠EAC=∠KAC,
∴KC=CE,
∵在Rt△FKC中,FC>KC,
∴FC>CE,
故结论④错误;
∵∠DAF=∠DFA=22.5°,
∴∠ADF=135°,
∴∠FDC=45°,
∴∠FDC=∠DCA,
∴AC∥DF,
∴S△DAF=S△DCF,
∴S△DAH=S△CFH,
故结论⑤正确.
正确的结论有①③⑤.
故*为①③⑤.
【点睛】
本题较难,是一道几何综合题,主要考查圆的*质、圆周角定理、全等三角形的判定与*质、正方形的*质、角平分线的*质.
知识点:正多边形和圆
题型:填空题
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