如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长...
问题详情:
如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接DF,过点E作EH⊥DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.
(1)猜想DG与CF的数量关系,并*你的结论;
(2)过点H作MN∥CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点P是MN上一点,求△PDC周长的最小值.
【回答】
(1)结论:CF=2DG,理由见解析;(2)△PCD的周长的最小值为10+2.
【分析】
(1)结论:CF=2DG.只要*△DEG∽△CDF即可;
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
【详解】
(1)结论:CF=2DG.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°,
∵DE=AE,
∴AD=CD=2DE,
∵EG⊥DF,
∴∠DHG=90°,
∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°,
∴∠CDF=∠DEG,
∴△DEG∽△CDF,
∴==,
∴CF=2DG.
(2)作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,
此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
由题意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==,
∴EH=2DH=2,
∴HM==2,
∴DM=CN=NK==1,
在Rt△DCK中,DK===2,
∴△PCD的周长的最小值为10+2.
【点睛】
本题考查正方形的*质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和*质、勾股定理等知识,解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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