在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交B...

问题详情：

在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易*△ABF≌△BCE．（不需要*）

【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．

（1）求*：BE=FG．

（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．

【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．

【回答】

【解答】解：感知：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠BAF=∠CBE，

在△ABF和△BCE中，，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

探究：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，

∴四边形ABPG是矩形，

∴PG=AB，∴PG=BC，

同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，

在△PGF和△CBE中，，

∴△PGF≌△CBE（ASA），

∴BE=FG，

（2）由（1）知，FG=BE，

连接CM，

∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，

∴BE=2CM=2，

∴FG=2，

故*为：2．

应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，

∴ME=3，

同探究（1）得，CG=BE=6，

∵BE⊥CG，

∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，

故*为9．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的*质，同角的余角相等，全等三角形的判定和*质，直角三角形的*质，判断出CG=BE是解本题的关键．

知识点：各地中考

题型：解答题