如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且∠EBF=45°．△ABE...

问题详情：

如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上（不与A、D重合），点F在边CD上，且∠EBF=45°．△ABE的外接圆O与BC、BF分别交于点G、H．

（1）在图1中作出圆O，并标出点G和点H；

（2）若EF∥AC，试说明与的大小关系，并说明理由；

（3）如图2所示，若圆O与CD相切，试求△BEF的面积．

【回答】

【分析】（1）根据题意利用同一圆中相等的弦所对的圆周角相等画出图形即可；

（2）连接BD、EG、EH，先由已知得出BD为EF的中垂线，再得出∠BEG=22.5°=∠HBG，即可得出=；

（3）将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，由已知得出△BPE≌△BFE，进而得出△AEB≌△QEB，可得C△EFD=4，再利用中位线出a的值，利用直角三角形得出b的值，即可求出△BEF的面积．

【解答】解：（1）如图1，

（2）如图2，连接BD、EG、EH，

∵EF∥AC，

∴DE=DF，

又∵BD平分∠EDF，

∴BD为EF的中垂线，

∴BE=BF，BD平分∠EBF，

又∵∠EBF=45°=∠DBC，

∴∠EBD=∠DBF=∠HBG=22.5°，

∴∠EBG=67.5°，

又∵∠EGB=90°，

∴∠BEG=22.5°=∠HBG，

∴=，

（3）如图3，将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP，过点B作BQ⊥EF，设⊙O与CD相切于点M，连接OM，延长MO交AB于点N，

在△BPE与△BFE中，

，

∴△BPE≌△BFE（SAS），

∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，

由∠AEB=∠BEQ可知，

在△AEB和△QEB中，

，

∴△AEB≌△QEB（AAS），

∴BQ=AB=2，

由PE=EF可知，

C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，

设AE=a，DF=b，则DE=2﹣a，BE=，

∵O为BE中点，且MN∥AD，

∴ON==，

∴OM=2﹣，

又BE=2OM，

∴=4﹣a，解得a=，

∴ED=，

又∵C△EFD=4，DF=b，

∴EF=4﹣b﹣=﹣b，

在RT△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，解得b=，

∴EF=﹣=，

∴S△BEF=××2=．

【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是正确作出辅助线，利用三解形全等及方程灵活的求解．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题