如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于...
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如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
【回答】
(1)=;(2)结论:AC2=AG•AH.理由见解析;(3)①△AGH的面积不变.②m的值为或2或8﹣4..
【解析】
(1)*∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,即可推出∠AHC=∠ACG;
(2)结论:AC2=AG•AH.只要*△AHC∽△ACG即可解决问题;
(3)①△AGH的面积不变.理由三角形的面积公式计算即可;
②分三种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB=CD=DA=4,∠D=∠DAB=90°∠DAC=∠BAC=45°,
∴AC=,
∵∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°,∠ACH+∠ACG=45°,
∴∠AHC=∠ACG.
故*为=.
(2)结论:AC2=AG•AH.
理由:∵∠AHC=∠ACG,∠CAH=∠CAG=135°,
∴△AHC∽△ACG,
∴,
∴AC2=AG•AH.
(3)①△AGH的面积不变.
理由:∵S△AGH=•AH•AG=AC2=×(4)2=16.
∴△AGH的面积为16.
②如图1中,当GC=GH时,易*△AHG≌△BGC,
可得AG=BC=4,AH=BG=8,
∵BC∥AH,
∴,
∴AE=AB=.
如图2中,当CH=HG时,
易*AH=BC=4,
∵BC∥AH,
∴=1,
∴AE=BE=2.
如图3中,当CG=CH时,易*∠ECB=∠DCF=22.5.
在BC上取一点M,使得BM=BE,
∴∠BME=∠BEM=45°,
∵∠BME=∠MCE+∠MEC,
∴∠MCE=∠MEC=22.5°,
∴CM=EM,设BM=BE=m,则CM=EMm,
∴m+m=4,
∴m=4(﹣1),
∴AE=4﹣4(﹣1)=8﹣4,
综上所述,满足条件的m的值为或2或8﹣4.
【点睛】
本题属于四边形综合题,考查了正方形的*质,全等三角形的判定和*质,相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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