已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=C...
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已知,如图1,BD是边长为1的正方形ABCD的对角线,BE平分∠DBC交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G.
(1)求*:△BCE≌△DCF;
(2)求CF的长;
(3)如图2,在AB上取一点H,且BH=CF,若以BC为x轴,AB为y轴建立直角坐标系,问在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的P点坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
【解答】(1)*:如图1,
在△BCE和△DCF中,
,
∴△BCE≌△DCF(SAS);
(2)*:如图1,
∵BE平分∠DBC,OD是正方形ABCD的对角线,
∴∠EBC=∠DBC=22.5°,
由(1)知△BCE≌△DCF,
∴∠EBC=∠FDC=22.5°(全等三角形的对应角相等);
∴∠BGD=90°(三角形内角和定理),
∴∠BGF=90°;
在△DBG和△FBG中,
,
∴△DBG≌△FBG(ASA),
∴BD=BF,DG=FG(全等三角形的对应边相等),
∵BD==,
∴BF=,
∴CF=BF﹣BC=﹣1;
(3)解:如图2,∵CF=﹣1,BH=CF
∴BH=﹣1,
①当BH=BP时,则BP=﹣1,
∵∠PBC=45°,
设P(x,x),
∴2x2=(﹣1)2,
解得x=2﹣或﹣2+,
∴P(2﹣,2﹣)或(﹣2+,﹣2+);
②当BH=HP时,则HP=PB=﹣1,
∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(﹣1,﹣1);
③当PH=PB时,∵∠ABD=45°,
∴△PBH是等腰直角三角形,
∴P(,),
综上,在直线BD上是否存在点P,使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形,所有符合条件的P点坐标为(2﹣,2﹣)、(﹣2+,﹣2+)、(﹣1,﹣1)、(,).
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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