如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于...
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如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与CB交于点N,连接CG.
(1)求*:CD⊥CG;
(2)若tan∠MEN=,求的值;
(3)已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为?请说明理由.
【回答】
【解答】(1)*:∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形,
∴∠A=∠ADC=∠EDG=90°,AD=CD,DE=DG,
∴∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中,,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴∠A=∠DCG=90°,
∴CD⊥CG;
(2)解:∵四边形DEFG是正方形,
∴EF=GF,∠EFM=∠GFM=45°,
在△EFM和△GFM中,
∴△EFM≌△GFM(SAS),
∴EM=GM,∠MEF=∠MGF,
在△EFH和△GFN中,,
∴△EFH≌△GFN(ASA),
∴HF=NF,
∵tan∠MEN==,
∴GF=EF=3HF=3NF,
∴GH=2HF,
作NP∥GF交EM于P,则△PMN∽△HMG,△PEN∽△HEF,
∴=,==,
∴PN=HF,
∴====;
(3)EM的长不可能为,
理由:假设EM的长为,
∵点E是AB边上一点,且∠EDG=∠ADC=90°,
∴点G在BC的延长线上,
同(2)的方法得,EM=GM=,
∴GM=,
在Rt△BEM中,EM是斜边,
∴BM<,
∵正方形ABCD的边长为1,
∴BC=1,
∴CM>,
∴CM>GM,
∴点G在正方形ABCD的边BC上,与“点G在BC的延长线上”相矛盾,
∴假设错误,
即:EM的长不可能为.
知识点:各地中考
题型:综合题
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