如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE...
问题详情:
如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交*线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并*;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
【回答】
(1)AF=AE;(2)AF=kAE,*见解析;(3)EG的长为或
【解析】
(1)*△EAB≌△FAD(AAS),由全等三角形的*质得出AF=AE;
(2)*△ABE∽△ADF,由相似三角形的*质得出,则可得出结论;
(3)①如图1,当点F在DA上时,*得△GDF∽△GBA,得出,求出AG=.由△ABE∽△ADF可得出,求出AE=.则可得出*;
②如图2,当点F在DC的延长线上时,同理可求出EG的长.
【详解】
解:(1)AE=AF.
∵AD=AB,四边形ABCD矩形,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∴△EAB≌△FAD(AAS),
∴AF=AE;
故*为:AF=AE.
(2)AF=kAE.
*:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°,
∴∠FAD+∠FAB=90°,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB+∠FAB=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°,
∴∠ABE=∠ADF.
∴△ABE∽△ADF,
∴,
∵AD=kAB,
∴,
∴,
∴AF=kAE.
(3)解:①如图1,当点F在DA上时,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∵AD=2AB=4,
∴AB=2,
∴CD=2,
∵CF=1,
∴DF=CD﹣CF=2﹣1=1.
在Rt△ADF中,∠ADF=90°,
∴AF=,
∵DF∥AB,
∴∠GDF=∠GBA,∠GFD=∠GAB,
∴△GDF∽△GBA,
∴
∵AF=GF+AG,
∴AG=
∵△ABE∽△ADF,
∴,
∴AE==
在Rt△EAG中,∠EAG=90°,
∴EG=,
②如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3,
在Rt△ADF中,∠ADF=90°,
∴AF=.
∵DF∥AB,
∵∠GAB=∠GFD,∠GBA=∠GDF,
∴△AGB∽△FGD,
∴,
∵GF+AG=AF=5,
∴AG=2,
∵△ABE∽△ADF,
∴,
∴,
在Rt△EAG中,∠EAG=90°,
∴EG=.
综上所述,EG的长为或.
【点睛】
本题是相似形综合题,考查了全等三角形的判定与*质,正方形的*质,矩形的*质,相似三角形的判定与*质,勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定与*质是解题的关键.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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