如图,在□ABCD中,E为对角线AC上一点,连接DE,作EF⊥DE,交AD于点F,G为AD边上一点,且AB=A...
问题详情:
如图,在□ABCD中,E为对角线AC上一点,连接DE,作EF⊥DE,交AD于点F,G为AD边上一点,且AB=AG,连接GE.
(1)如图1,若点G为DF的中点,AF=2,EG=4,∠B=60°,求AC的长;
(2)如图2,连接CG交DE于点H,若EG∥CD,∠ACB=∠DCG,求*:∠ECG=2∠AEF.
【回答】
(1)AC=;(2)见解析.
【解析】
(1)过点C作CH⊥AD,交AD于点H,根据直角三角形斜边上的中线的*质得到FD和EG的长,即可得到AD的长,然后通过含有30°角的直角三角形的*质和勾股定理即可求出AC的长;
(2)根据平行四边形和∠ACB=∠DCG得到∠DAC=∠DCG,再根据全等三角形的判定和*质,三角形的外角*质,等边对等角及平行线的*质*两角的倍数关系.
【详解】
(1)如图,过点C作CH⊥AD,交AD于点H,
∵EF⊥DE,
∴△FED是直角三角形,
又G是斜边FD的中点,
∴FD=2EG=2×4=8,EG=FG=4,
∴AD=AF+FD=2+8=10,
∵AG=AF+GF,
∴AG=2+4=6,
∴CD=AB=AG=6,
∵∠B=60°,
∴∠HDC=60°,
在Rt△AHC中,HD=CD=3,
HC=HD=3,
∵AH=AD﹣HD=10﹣3=7,
在Rt△AHC中,AH2+HC2=AC2,
∴AC===2;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC,
∵∠ACB=∠DCG,
∴∠DAC=∠DCG,
∵AB=AG,
∴CD=AG,
∵EG∥CD,
∴∠AGE=∠ADC,∠DCG=∠EGC,
在△AEG和△CGD中,
∴△AEG≌△CGD(ASA),
∴AE=CG,GE=DG,
∴∠GED=∠GDE,
∵EF⊥ED,
∴∠FED=90°,
∴∠GED+∠FEG=90°,
∴∠GDE+∠DFE=90°,
∴∠FEG=∠DFE,
又∠GCD=∠EGC=∠DAC,
在EG上截取GM=AF,连接CM,
在△AFE和△GMC中,
,
∴△AFE≌△GMC(SAS),
∴∠AEF=∠GCM,∠AFE=∠GMC,
∴∠DFE=∠EMC,
∵∠FEG=∠DFE,
∴∠FEG=∠EMC,
∴FE∥CM,
∴∠AEF=∠ECM,
∴∠AEF=∠ECM=∠GCM,
∴∠ECG=∠ECM+∠GCM=2∠AEF.
【点睛】
本题考查了直角三角形的*质、三角形的外角的*质、平行四边形的*质、全等三角形的判定和*质等知识点,具有一定的综合*与难度.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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