如图，AB⊥BC，*线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作...

问题详情：

如图，AB⊥BC，*线CM⊥BC，且BC=5，AB=1，点P是线段BC （不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交*线CM于点D，连结AD． （1）如图1，若BP=4，求CD的长． （2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由． （3）若△PDC是等腰三角形，作点B关于AP的对称点B′，连结B′D，则B′D=　　　　　　．（请直接写出*）

【回答】

1）∵AB⊥BC∴∠ABP=90°，∴AP2=AB2+BP2，∴AP＝∴AP+AB+BP=+4

∴△APB的周长为+4.

（2）PB=PC，理由如下：延长线段AP、DC交于点E

∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠EDP．

∵DP⊥AP，∴∠DPA=∠DPE=Rt∠．

在△DPA和△DPE中，∠ADP＝∠EDP,DP＝DP,∠DPA＝∠DPE∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA=PE．      

∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP=∠ECP=Rt∠．

在△APB和△EPC中，∠ABP＝∠ECP,∠APB＝∠EPC,PA＝PE ∴△APB≌△EPC（AAS），∴PB=PC；    

（3）∵△PDC是等腰三角形，∠C=90°，

∴PC=CD，∠DPC=∠PDC=45°．

∵DP⊥AP，∴∠APD=90°，

∵∠APB+∠DPC=90°．∴∠APB=45°°

∵AB⊥BC，∴∠B=90°，∴∠BAP+∠APB=90°，

∴∠BAP=45°，∴∠BAP=∠BPA，∴AB=PB=1．∴PC=3

∵点B与点B′关于AP 对称，∴△ABP≌AB′P，∴BP=PB′=1．AB=AB′．

∵∠B=90°，∴四边形ABPB′是正方形，∴∠BPB′=90°，∴∠B′PC=90°，

∵B′E⊥CD，∴∠B′EC=90°．∴四边形B′PCE是矩形，

∴PB′=CE=1，B′E=PC=3∴DE=2，

在Rt△B′DE中，由勾股定理，得B′D=

知识点：勾股定理

题型：解答题