（2019·河南初三）如图：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB于D点，点M为线段AC上一动点，线段MN交D...

问题详情：

（2019·河南初三）如图：已知△ABC中，CA=CB，CD⊥AB于D点，点M为线段AC上一动点，线段MN交DC于点N，且∠BAC=2∠CMN，过点C作CE⊥MN交MN延长线于点E，交线段AB于点F，探索的值.

（1）若∠ACB=90°，点M与点A重合（如图1）时：①线段CE与EF之间的数量关系是              ；②=         ；

（2）在（1）的条件下，若点M不与点A重合（如图2），请猜想写出的值，并*你的猜想

（3）若∠ACB≠90°，∠CAB=，其他条件不变，请直接写出的值（用含有的式子表示）

【回答】

（1）①CE=EF，② ；（2）=，理由见解析；（3）=.

【解析】

 (1)、①CE=EF；② ；

(2)、=

理由如下：如图2所示：过点M作MQ//AB交CD于点P，交CF于点Q，

则有∠CMP=∠BAC=45°， ∴CP=MP，

∵∠BAC=2∠CMN，    ∴∠CMP=2∠CMN，   ∴∠CMN=∠NMP=22.5°，∵CE⊥MN，

∴∠CEM=∠QEM=90°，∴CE=EQ （三线合一），∵CD⊥AB，  MQ//AB，

∴CD⊥MQ，∴∠MPN=∠CPQ=90°，又∵∠NCE+∠CNE=∠NCE+∠CQN=90°，

∴∠CQN=∠CNE=∠MNP，又CP=MP，∴△MPN△CPQ，∴CE=EQ ，MC=MQ，

∴CE=CQ=MN，∴=；

(3)、=．

图1                      图2                         图3

点睛：本题主要考查的是三角形全等的*与*质，等腰三角形的*质，综合*较强，难度较大．作出辅助线构造三角形全等是解决这个问题的关键．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：解答题