已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DB⊥MN于点B,连接CB.(1)问题发现如图(...
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已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DB⊥MN于点B,连接CB.
(1)问题发现 如图(1),过点C作CE⊥CB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为________,BD、AB、CB之间的数量关系为________.
(2)拓展探究 当MN绕点A旋转到如图(2)位置时,BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予*.
(3)解决问题 当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C、D在直线MN两侧),若此时∠BCD=30°,BD=2时,CB=________.
【回答】
(1)BD=AE;BD+AB= CB (2)解:*:如图2,过点C作⊥CB交MN于点E, ∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴∠CAE=90°﹣∠AFB,∠D=90°﹣∠CFD, ∵∠AFB=∠CFD, ∴∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AE﹣AB=DB﹣AB, ∴BD﹣AB= CB; (3)﹣ 【考点】全等三角形的判定与*质,等腰三角形的判定与*质,勾股定理,解直角三角形,旋转的*质 【解析】【解答】解:(1)如图1,过点C作⊥CB交MN于点E, ∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°﹣∠ACB,∠BCD=90°﹣∠ACB, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴在四边形ACDB中,∠BAC+∠ACD+∠ABD+∠D=360°, ∴∠BAC+∠D=180°, ∵∠CE+∠BAC=180°, ∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AE+AB=DB+AB, ∴BD+AB= CB; 故*为:BD=AE,BD+AB= CB;(3)如图3,过点C作⊥CB交MN于点E, (3)∵∠ACD=90°, ∴∠ACE=90°﹣∠DCE, ∠BCD=90°﹣∠DCE, ∴∠ACE=∠BCD, ∵DB⊥MN, ∴∠CAE=90°﹣∠AFC,∠D=90°﹣∠CFD, ∵∠AFB=∠BFD, ∴∠CAE=∠D, ∵AC=DC, ∴△ACE≌△DCB, ∴AE=DB,CE=CB, ∵∠ECB=90°, ∴△ECB是等腰直角三角形, ∴BE= CB, ∴BE=AB﹣AE=AB﹣DB, ∴AB﹣DB= CB; ∵△BCE为等腰直角三角形, ∴∠BEC=∠CBE=45°, ∵∠ABD=90°, ∴∠DBH=45° 过点D作DH⊥BC, ∴△DHB是等腰直角三角形, ∴BD= BH=2, ∴BH=DH= , 在Rt△CDH中,∠BCD=30°,DH= , ∴CH= DH= × = , ∴BC=CH﹣BH= ﹣ ; 故*为: ﹣ . 【分析】(1)过点C作⊥CB交MN于点E,易*得∠ACE=∠BCD,根据四边形的内角和定理及同角的补角相等,得出∠CAE=∠D,就可以*得ACE≌△DCB,根据全等三角形的*质得出BD=AE,从而得到△ECB是等腰直角三角形,即可得到BD、AB、CB之间的数量关系。 (2)过点C作⊥CB交MN于点E,先*△ACE≌△DCB,得出AE=DB,CE=CB,由∠ECB=90°,得出△ECB是等腰直角三角形,根据勾股定理易*得结论。 (3)先*△ACE≌△DCB,再*△ECB是等腰直角三角形,△BCE为等腰直角三角形,求得BH、DH的长,在Rt△CDH中,根据勾股定理求出CH、BC的长即可。
知识点:勾股定理
题型:解答题
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