(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m...
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(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.*:DE=BD+CE.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出*;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
【回答】
(1)见解析(2)成立(3)△DEF为等边三角形
【分析】
(1)因为DE=DA+AE,故由AAS*△ADB≌△CEA,得出DA=EC,AE=BD,从而*得DE=BD+CE.
(2)成立,仍然通过*△ADB≌△CEA,得出BD=AE,AD=CE,所以DE=DA+AE=EC+BD.
(3)由△ADB≌△CEA得BD=AE,∠DBA =∠CAE,由△ABF和△ACF均等边三角形,得∠ABF=∠CAF=600,FB=FA,所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,即∠DBF=∠FAE,所以△DBF≌△EAF,所以FD=FE,∠BFD=∠AFE,再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形.
【详解】
解:(1)*:∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,∴∠BDA=∠CEA=900.
∵∠BAC=900,∴∠BAD+∠CAE=900.
∵∠BAD+∠ABD=900,∴∠CAE=∠ABD.
又AB="AC" ,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE="AE+AD=" BD+CE.
(2)成立.*如下:
∵∠BDA =∠BAC=,∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—.∴∠DBA=∠CAE.
∵∠BDA=∠AEC=,AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴AE=BD,AD=CE.
∴DE=AE+AD=BD+CE.
(3)△DEF为等边三角形.理由如下:
由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA =∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,∴∠ABF=∠CAF=600.
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF.∴∠DBF=∠FAE.
∵BF=AF,∴△DBF≌△EAF(ASA).∴DF=EF,∠BFD=∠AFE.
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600.
∴△DEF为等边三角形.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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