已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点...

问题详情：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD．

（1）求*：△MED∽△BCA；

（2）求*：△AMD≌△CMD；

（3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2=S1时，求cos∠ABC的值．

【回答】

【解答】解：（1）∵MD∥BC，

∴∠DME=∠CBA，

∵∠ACB=∠MED=90°，

∴△MED∽△BCA，

（2）∵∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，

∴MB=MC=AM，

∴∠MCB=∠MBC，

∵∠DMB=∠MBC，

∴∠MCB=∠DMB=∠MBC，

∵∠AMD=180°﹣∠DMB，

∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC

∴∠AMD=∠CMD，

在△AMD与△CMD中，

△AMD≌△CMD（SAS）

（3）∵MD=CM，

∴AM=MC=MD=MB，

∴MD=2AB，

由（1）可知：△MED∽△BCA，

∴==，

∴S△ACB=4S1，

∵CM是△ACB的中线，

∴S△MCB=S△ACB=2S1，

∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1，

∵=，

∴=，

∴=，

设ME=5x，EB=2x，

∴MB=7x，

∴AB=2MB=14x，

∵==，

∴BC=，

∴cos∠ABC===

【点评】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的*质，全等三角形的*质与判定，相似三角形的判定与*质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

知识点：各地中考

题型：解答题