如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,AD=6cm,BC=9cm,点P从点A出发,...
问题详情:
如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=4cm,AD=6cm,BC=9cm,点P从点A出发,以2cm/s的速度沿A→D→C方向向点C运动;同时点Q从点C出发,以1cm/s的速度沿C→B方向向点B运动,设点Q运动时间为ts,△APQ的面积为Scm2.
(1)DC= cm,sin∠BCD= .
(2)当四边形PDCQ为平行四边形时,求t的值.
(3)求S与t的函数关系式.
(4)若S与t的函数图象与直线S=k(k为常数)有三个不同的交点,则k的取值范围是 .
【回答】
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)如图1,作高线DE,*四边形ABED是矩形,再利用勾股定理求DC的长,在Rt△DEC中,求出
sin∠BCD==;
(2)当四边形PDCQ为平行四边形时,点P在AD上,如图2,根据PD=CQ列方程得:6﹣2t=t,解出即可;
(3)分三种情况:
①当0<t≤3时,点P在边AD上,如图3,直接利用面积公式求S即可;
②当3<t≤时,点P在边CD上,如图4,利用梯形面积减去三个三角形面积的差求S;
③当<t≤9时,点P与C重合,Q在BC上,如图5,直接利用面积公式求S即可;
(4)画出图象,根据图象得出结论.
【解答】解:(1)过D作DE⊥BC于E,则∠BED=90°,
∵AD∥BC,
∴∠B+∠BAD=180°,
∵∠B=90°,
∴∠B=∠BAD=90°,
∴四边形ABED是矩形,
∴AD=BE=6,DE=AB=4,
∴EC=BC﹣BE=9﹣6=3,
在Rt△DEC中,由勾股定理得:DC=5,
sin∠BCD==,
故*为:5,;
(2)由题意得:AP=2t,CQ=t,
则PD=6﹣2t,
当四边形PDCQ为平行四边形时,如图2,
则PD=CQ,
∴6﹣2t=t,
∴t=2;
(3)分三种情况:
①当0<t≤3时,点P在边AD上,如图3,
S=AP•AB=×4×2t=4t;
②当3<t≤时,点P在边CD上,如图4,
过P作MN⊥BC,交BC于N,交AD的延长线于M,
由题意得:CQ=t,BQ=9﹣t,PA=2t,PD=2t﹣6,
∴PC=5﹣PD=5﹣(2t﹣6)=11﹣2t,
由图1得:sin∠C=,
,
PN=,
∴PM=4﹣PN=4﹣=,
S=S梯形ABCD﹣S△PQC﹣S△ABQ﹣S△APD,
=﹣﹣×﹣=;
③当<t≤9时,点P与C重合,Q在BC上,如图5,
S==2t;
综上所述,S与t的函数关系式为:S=.
(4)如图6,S=;
S的最小值为: =,
当t=3时,S=4×3=12,
∴则k的取值范围是:<k<12.
故*为:<k<12.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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