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已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,OD垂直平分A C.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点P作PE⊥AB,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,分别交AD,OD于点F,G.连接OP,EG.设运动时间为t(s)(0<t<5),解答下列问题:
(1)当t为何值时,点E在∠BAC的平分线上?
(2)设四边形PEGO的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使四边形PEGO的面积最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)连接OE,OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OE⊥OQ?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴AC==6(cm),
∵OD垂直平分线段AC,
∴OC=OA=3(cm),∠DOC=90°,
∵CD∥AB,
∴∠BAC=∠DCO,
∵∠DOC=∠ACB,
∴△DOC∽△BCA,
∴==,
∴==,
∴CD=5(cm),OD=4(cm),
∵PB=t,PE⊥AB,
易知:PE=t,BE=t,
当点E在∠BAC的平分线上时,
∵EP⊥AB,EC⊥AC,
∴PE=EC,
∴t=8﹣t,
∴t=4.
∴当t为4秒时,点E在∠BAC的平分线上.
(2)如图,连接OE,PC.
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE﹣S△OEC)
=•(4﹣t)•3+[•3•(8﹣t)+•(8﹣t)•t﹣•3•(8﹣t)
=﹣t2+t+16(0<t<5).
(3)存在.
∵S=﹣(t﹣)2+(0<t<5),
∴t=时,四边形OPEG的面积最大,最大值为.
(4)存在.如图,连接OQ.
∵OE⊥OQ,
∴∠EOC+∠QOC=90°,
∵∠QOC+∠QOG=90°,
∴∠EOC=∠QOG,
∴tan∠EOC=tan∠QOG,
∴=,
∴=,
整理得:5t2﹣66t+160=0,
解得t=或10(舍弃)
∴当t=秒时,OE⊥OQ.
知识点:各地中考
题型:综合题
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