已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠...
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已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,AD=CD=2,点E在边AD上(不与点A、D重合),∠CEB=45°,EB与对角线AC相交于点F,设DE=x.
(1)用含x的代数式表示线段CF的长;
(2)如果把△CAE的周长记作C△CAE,△BAF的周长记作C△BAF,设=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)当∠ABE的正切值是 时,求AB的长.
【回答】
(1)CF=;(2)y=(0<x<2);(3)AB=2.5.
【解析】
试题分析:(1)根据等腰直角三角形的*质,求得∠DAC=∠ACD=45°,进而根据两角对应相等的两三角形相似,可得△CEF∽△CAE,然后根据相似三角形的*质和勾股定理可求解;
(2)根据相似三角形的判定与*质,由三角形的周长比可求解;
(3)由(2)中的相似三角形的对应边成比例,可求出AB的关系,然后可由∠ABE的正切值求解.
试题解析:(1)∵AD=CD.
∴∠DAC=∠ACD=45°,
∵∠CEB=45°,
∴∠DAC=∠CEB,
∵∠ECA=∠ECA,
∴△CEF∽△CAE,
∴,
在Rt△CDE中,根据勾股定理得,CE= ,
∵CA=,
∴,
∴CF=;
(2)∵∠CFE=∠BFA,∠CEB=∠CAB,
∴∠ECA=180°﹣∠CEB﹣∠CFE=180°﹣∠CAB﹣∠BFA,
∵∠ABF=180°﹣∠CAB﹣∠AFB,
∴∠ECA=∠ABF,
∵∠CAE=∠ABF=45°,
∴△CEA∽△BFA,
∴(0<x<2),
(3)由(2)知,△CEA∽△BFA,
∴,
∴,
∴AB=x+2,
∵∠ABE的正切值是,
∴tan∠ABE=,
∴x=,
∴AB=x+2=.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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