如图,四边形中ABCD,AB∥CD,BC⊥AB,AD=CD=8cm,AB=12cm,动点M从A出发,沿线段AB...
问题详情:
如图,四边形中ABCD,AB∥CD,BC⊥AB,AD=CD=8cm,AB=12cm,动点M从A出发,沿线段AB作往返运动(A﹣B﹣A),速度为3(cm/s),动点N从C出发,沿着线段C﹣D﹣A运动,速度为2(cm/s),当N到达A点时,动点M、N运动同时停止.
(1)当t=5(s)时,则MN两点间距离等于 (cm);
(2)当t为何值时,MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分?
(3)若线段MN与AC的交点为P,探究是否存在t的值,使得AP:PC=1:2?若存在,请求出所有t的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解析】(1)如图所示,当t=5(s)时,点N移动的路程为10,点M移动的路程为15,
∴点N在AD上,DN=10﹣8=2,点M在AB上,BM=15﹣12=3,
∴AN=6,AM=9,
过D作DE⊥AB,过N作NF⊥AB,则BE=CD=8,AE=12=8=4,
∴Rt△ADE中,DE=
∵NF∥DE,
∴,即
∴NF=3 ,AF=3,
∴FM=9﹣3=6,
∴Rt△MNF中,MN=
故*为3 ;
(2)∵四边形中ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AD=CD=8cm,AB=12cm,
而BC=4 ,则梯形ABCD的面积=
①当0≤t≤4时,如图,则BM=12﹣3t,CN=2t,
∴梯形BCNM的面积=
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分,
∴
∴t=2.
②当4<t≤8时,如图,则AM=24﹣3t,AN=16﹣2t,
∴△AMN的面积=
∵MN将四边形ABCD的面积分为相等的两个部分,
∴
∴
又∵4<t≤8,
∴
综上所述:或t=2或8
(3)①当0≤t≤4时,如图,则AM=3t,CN=2t.
∵AB∥CD,
∴不存在符合条件的t值.
②当4<t≤8时,如图,分别延长CD、MN交于点Q.
则AM=24﹣3t,AN=16﹣2t,DN=2t﹣8.
∵AB∥CD,
∴,即
解得DQ=3(t﹣4),
∴CQ=3t﹣4.
∵AB∥CD,
∴,即
解得t= ,
综上可知:存在实数t=使得AP:PC=1:2成立.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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