如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度...
问题详情:
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)当t为何值时,DF=DA?
(2)当t为何值时,△ADE为直角三角形?请说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使点F在线段AC的中垂线上,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
(4)请用含有t式子表示△DEF的面积,并判断是否存在某一时刻t,使△DEF的面积是△ABC面积的,若存在,请求出t值,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)10;(2)t= 或12,理由见解析;(3) t=10,理由见解析;(4)
【解析】
(1) 由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°,即可知DF=CD=AE=2t,列方程求解即可;
(2)分两种情况讨论即可求解;
(3)假设存在,再根据垂直平分线的*质求解即可;
(4)利用两个三角形的面积关系求解即可.
【详解】
(1)*:由题意得:AE=2t,CD=4t,
∵DF⊥BC∴∠CFD=90°,
∵∠C=90°-60°=30°,
∴DF=CD=2t,
同理:AB=AC=30cm
若:DF=DA,则:2t=60-4t,
解得: t=10;
(2) 当∠AED=90°时,DE∥BC.
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE 即60-4t=4t,
解得:t=
当∠ADE=90°时,
∵∠A=60°, ∴∠DEA=30°,
∴AD=AE
∴60-4t=t 解得t=12.
(3)连接AF,
若存在,则CF=AF,
∴∠C=∠CAF=30°
∴∠AFB=60°
∴∠FAB=30°
RT△DCF中,有勾股定理得:CF=
同理:BC=
∴FB=AF==
解得:t=10.
(4)
∴
∴
若存在,则
解得
【点睛】
解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题.
知识点:实际问题与一元二次方程
题型:解答题
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