如图*,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动...
问题详情:
如图*,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm.如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接PQ,设运动时间为t(s)(0<t<4),解答下列问题:
(1)设△APQ的面积为S,当t为何值时,S取得最大值?S的最大值是多少?
(2)如图乙,连接PC,将△PQC沿QC翻折,得到四边形PQP′C,当四边形PQP′C为菱形时,求t的值;′
(3)当t为何值时,△APQ是等腰三角形?
【回答】
【考点】相似形综合题.
【专题】压轴题.
【分析】(1)过点P作PH⊥AC于H,由△APH∽△ABC,得出=,从而求出AB,再根据=,得出PH=3﹣t,则△AQP的面积为: AQ•PH=t(3﹣t),最后进行整理即可得出*;
(2)连接PP′交QC于E,当四边形PQP′C为菱形时,得出△APE∽△ABC, =,求出AE=﹣t+4,再根据QE=AE﹣AQ,QE=QC得出﹣t+4=﹣t+2,再求t即可;
(3)由(1)知,PE=﹣t+3,与(2)同理得:QE=﹣t+4,从而求出PQ=,
在△APQ中,分三种情况讨论:①当AQ=AP,即t=5﹣t,②当PQ=AQ,即=t,③当PQ=AP,即=5﹣t,再分别计算即可.
【解答】解:(1)如图*,过点P作PH⊥AC于H,
∵∠C=90°,
∴AC⊥BC,
∴PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴=,
∵AC=4cm,BC=3cm,
∴AB=5cm,
∴=,
∴PH=3﹣t,
∴△AQP的面积为:
S=×AQ×PH=×t×(3﹣t)=﹣(t﹣)2+,
∴当t为秒时,S最大值为cm2.
(2)如图乙,连接PP′,PP′交QC于E,
当四边形PQP′C为菱形时,PE垂直平分QC,即PE⊥AC,QE=EC,
∴△APE∽△ABC,
∴=,
∴AE===﹣t+4
QE=AE﹣AQ═﹣t+4﹣t=﹣t+4,
QE=QC=(4﹣t)=﹣t+2,
∴﹣t+4=﹣t+2,
解得:t=,
∵0<<4,
∴当四边形PQP′C为菱形时,t的值是s;
(3)由(1)知,
PE=﹣t+3,与(2)同理得:QE=AE﹣AQ=﹣t+4
∴PQ===,
在△APQ中,
①当AQ=AP,即t=5﹣t时,解得:t1=;
②当PQ=AQ,即=t时,解得:t2=,t3=5;
③当PQ=AP,即=5﹣t时,解得:t4=0,t5=;
∵0<t<4,
∴t3=5,t4=0不合题意,舍去,
∴当t为s或s或s时,△APQ是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了相似形综合,用到的知识点是相似三角形的判定与*质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题,关键是根据题意做出辅助线,利用数形结合思想进行解答.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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