已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且==m,连...
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已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且==m,连结AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.
(1)如图1,过点E作EH⊥AB于点H,连结DH.
①求*:四边形DHEC是平行四边形;
②若m=,求*:AE=DF;
(2)如图2,若m=,求的值.
【回答】
(1)①*见解析;②*见解析;(2)
【解析】
分析:(1)①先判断出△BHE∽△BAC,进而判断出HE=DC,即可得出结论;
②先判断出AC=AB,BH=HE,再判断出∠HEA=∠AFD,即可得出结论;
(2)先判断出△EGB∽△CAB,进而求出CD:BE=3:5,再判断出∠AFM=∠AEG进而判断出△FAD∽△EGA,即可得出结论.
详解:(1)①*:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,
∴EH∥CA,
∴△BHE∽△BAC,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴HE=DC,
∵EH∥DC,
∴四边形DHEC是平行四边形;
②∵,∠BAC=90°,
∴AC=AB,
∵,HE=DC,
∴HE=DC,
∴,
∵∠BHE=90°,
∴BH=HE,
∵HE=DC,
∴BH=CD,
∴AH=AD,
∵DM⊥AE,EH⊥AB,
∴∠EHA=∠AMF=90°,
∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°,
∴∠HEA=∠AFD,
∵∠EHA=∠FAD=90°,
∴△HEA≌△AFD,
∴AE=DF;
(2)如图,过点E作EG⊥AB于G,
∵CA⊥AB,
∴EG∥CA,
∴△EGB∽△CAB,
∴,
∴,
∵,
∴EG=CD,
设EG=CD=3x,AC=3y,
∴BE=5x,BC=5y,
∴BG=4x,AB=4y,
∵∠EGA=∠AMF=90°,
∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,
∴∠AFM=∠AEG,
∵∠FAD=∠EGA=90°,
∴△FAD∽△EGA,
∴.
点睛:此题是相似形综合题,主要考查了平行四边形的判定和*质,相似三角形的判定和*质,全等三角形的判定和*质,判断出∠HEA=∠AFD是解本题的关键.
知识点:平行四边形
题型:解答题
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