已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，C...

问题详情：

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为      ；

（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

【回答】

解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°．

 故*为：45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，∴．

∵BD=AF，∴．

∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴ =，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．∵AD∥BF，∴∠EFB=90°．在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD．

∵AC=BD，CD=AE，∴．

∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE．

∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°．在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．

知识点：各地中考

题型：综合题