如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM...

问题详情：

如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是对角线BD上的一个动点（0＜DM＜BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交BC于点N．

（1）如图①，求*：MA＝MN；

（2）如图②，连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长；

（3）如图③，过点N作NH⊥BD于H，当AM＝2时，求△HMN的面积．

【回答】

（1）*：过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G，如图①所示：

∴∠AFM＝∠MFB＝∠BGM＝∠NGM＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝∠DAB＝90°，AD＝AB，∠ABD＝∠DBC＝45°，

∵MF⊥AB，MG⊥BC，

∴MF＝MG，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形FBGM是正方形，

∴∠FMG＝90°，

∴∠FMN+∠NMG＝90°，

∵MN⊥AM，

∴∠AMF+∠FMN＝90°，

∴∠AMF＝∠NMG，

在△AMF和△NMG中，，

∴△AMF≌△NMG（ASA），

∴MA＝MN；

（2）解：在Rt△AMN中，由（1）知：MA＝MN，

∴∠MAN＝45°，

∵∠DBC＝45°，

∴∠MAN＝∠DBC，

∴Rt△AMN∽Rt△BCD，

∴＝（）2，

在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，

∴BD＝6，

∵，

∴＝，

解得：AN＝2，

∴在Rt△ABN中，BN＝＝＝4，

∵在Rt△AMN中，MA＝MN，O是AN的中点，

∴OM＝OA＝ON＝AN＝，OM⊥AN，

∴∠AOP＝90°，

∴∠AOP＝∠ABN，

∵∠PAO＝∠NAB，

∴△PAO∽△NAB，

∴＝，即：＝，

解得：OP＝，

∴PM＝OM+OP＝+＝；

（3）解：过点A作AF⊥BD于F，如图③所示：

∴∠AFM＝90°，

∴∠FAM+∠AMF＝90°，

∵MN⊥AM，

∴∠AMN＝90°，

∴∠AMF+∠HMN＝90°，

∴∠FAM＝∠HMN，

∵NH⊥BD，

∴∠AFM＝∠MHN＝90°，

在△AFM和△MHN中，，

∴△AFM≌△MHN（AAS），

∴AF＝MH，

在等腰直角△ABD中，∵AF⊥BD，

∴AF＝BD＝×6＝3，

∴MH＝3，

∵AM＝2，

∴MN＝2，

∴HN＝＝＝，

∴S△HMN＝MH•HN＝×3×＝3，

∴△HMN的面积为3．

知识点：各地中考

题型：综合题