如图,在平行四边形ABCD中,∠D=60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长...
问题详情:
如图,在平行四边形ABCD中,∠D=60°,对角线AC⊥BC,⊙O经过点A,B,与AC交于点M,连接AO并延长与⊙O交于点F,与CB的延长线交于点E,AB=EB.
(1)求*:EC是⊙O的切线;
(2)若AD=2,求的长(结果保留π).
【回答】
(1)见解析;(2)
【解析】
(1)*:连接OB,根据平行四边形的*质得到∠ABC=∠D=60°,求得∠BAC=30°,根据等腰三角形的*质和三角形的外角的*质得到∠ABO=∠OAB=30°,于是得到结论;
(2)根据平行四边形的*质得到BC=AD=2,过O作OH⊥AM于H,则四边形OBCH是矩形,解直角三角形即可得到结论.
【详解】
(1)*:连接OB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=60°,
∵AC⊥BC,
∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=30°,
∵BE=AB,
∴∠E=∠BAE,
∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°,
∴∠E=∠BAE=30°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠OAB=30°,
∴∠OBC=30°+60°=90°,
∴OB⊥CE,
∴EC是⊙O的切线;
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=2,
过O作OH⊥AM于H,
则四边形OBCH是矩形,
∴OH=BC=2,
∴OA==4,∠AOM=2∠AOH=60°,
∴的长度==.
【点睛】
本题考查了切线的判定,锐角三角函数,平行四边形的*质,矩形的判定和*质,弧长的计算,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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