．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C...

问题详情：

．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．

（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【回答】

【解答】解：（1）如图1中，延长EO交CF于K．

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO．

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK．

∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE．

（2）如图2中，延长EO交CF于K．

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF．

∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF．

∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE．

（3）如图3中，延长EO交CF于K．作PH⊥OF于H．

∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2．在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2．

∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2．在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP==﹣

如图4中，当点P在线段OC上时，同法可得OP=﹣，

综上所述：OP的长为﹣．

知识点：各地中考

题型：综合题