如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．

（1）求*：直线PQ是⊙O的切线．

（2）过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中*影部分的面积．

【回答】

解：（1）*：如图，连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠CAB＝∠ACO．

∵∠ACQ＝∠ABC，

∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，

∴直线PQ是⊙O的切线．

（2）连接OE，

∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，

∴∠DAC＝30°，∠ACD＝60°．

又∵OA＝OE，

∴△AEO为等边三角形，

∴∠AOE＝60°．

∴S*影＝S扇形﹣S△AEO

＝S扇形﹣OA•OE•sin60°

＝×22﹣×2×2×

＝﹣．

∴图中*影部分的面积为﹣．

【分析】（1）连接OC，由直径所对的圆周角为直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的*质及已知条件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切线的判定定理可得结论．

（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，从而可得∠ACD的 度数，进而判定△AEO为等边三角形，则∠AOE的度数可得；利用S*影＝S扇形﹣S△AEO，可求得*．

知识点：各地中考

题型：解答题