已知,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是AB延长线上一点,连接CP.(1)如图1,若∠PCB=∠A.①求*...
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已知,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点P是AB延长线上一点,连接CP.
(1)如图1,若∠PCB=∠A.
①求*:直线PC是⊙O的切线;
②若CP=CA,OA=2,求CP的长;
(2)如图2,若点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,MN•MC=9,求BM的值.
【回答】
【解析】(1)①欲*PC是⊙O的切线,只要*OC⊥PC即可;
②想办法*∠P=30°即可解决问题;
(2)如图2中,连接MA.由△AMC∽△NMA,可得,由此即可解决问题;
解:①*如下:如图1中,
∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠PCB=∠A,∴∠ACO=∠PCB,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACO+∠OCB=90°,∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP,
∵OC是⊙O的半径,∴PC是⊙O的切线.
②∵CP=CA,∴∠P=∠A,∴∠COB=2∠A=2∠P,
∵∠OCP=90°,∴∠P=30°,∵OC=OA=2,∴OP=2OC=4,∴.
(2)解:如图2中,连接MA.
∵点M是弧AB的中点,∴=,∴∠ACM=∠BAM,
∵∠AMC=∠AMN,∴△AMC∽△NMA,∴,∴AM2=MC•MN,
∵MC•MN=9,∴AM=3,∴BM=AM=3.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题
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