【问题提出】平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A...

问题详情：

【问题提出】

平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．

【初步思考】

（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，

     其中AD＝AB，AE＝AC，BD＝BC＝CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．

     求*： DA2＝DB·DE．

【深入研究】

（3）在△ABC中，AB＝AC，若存在一点P，使PB＝BA，PA＝PC．点P可能为△ABC

     的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．

【回答】

解: （1） 如下图………………2分

 （2）

      ∴ …………………………3分

      ∴

      ∴

      ∴    ………………………………5分

      ∴    ,  

   又 ∵

      ∴ DA2＝DB·DE………………………………………6分

（3）第一种如图①或②（只需画出一个即可），…………7分

     第二种如图③，……………………………………… 8分

     第三种如图④，………………………………………9分

     第四种如图⑤，………………………………………10分

知识点：各地中考

题型：解答题