问题提出(1)如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角...
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问题提出
(1)如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗?请*;
问题探究
(2)如图2,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请*;若不成立,请说明理由;
问题解决
(3)继续移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请*;若不成立,请说明理由.
【回答】
(1)*见解析(2)PB=PE还成立(3) PB=PE还成立
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的*质得∠BCD=90°,AC平分∠BCD,而PM⊥CD,则四边形PMCN是矩形,根据角平分线的*质可得PM=PN,根据四边形的内角和得到∠PBC+∠CEP=180°,再利用等角的补角相等得到∠PBM=∠PEN,然后根据AAS*△PBM≌△PEN,则可*;
(2)连接PD,根据正方形的*质和角平分线的*质,由“SAS”以及四边形的内角和得*;
(3)过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,然后根据角平分线的*质和正方形的*质,由“AAS”可*.
试题解析:(1)如图1,过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,∵PM⊥BC,PN⊥CD,∴四边形PMCN为正方形,PM=PN,∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,∴∠PBC+∠CEP=180°,而∠CEP+∠PEN=180°,∴∠PBM=∠PEN,在△PBM和△PEN中, ∴△PBM≌△PEN(AAS),∴PB=PE (2)如图2,PB=PE还成立.理由如下:过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,∵PM⊥BC,PN⊥CD,∴四边形PMCN为正方形,PM=PN,∴∠MPN=90°,∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,∴∠BPM+∠MPE=90°,而∠MPE+∠EPN=90°,∴∠BPM=∠EPN,在△PBM和△PEN中,∴△PBM≌△PEN(ASA),∴PB=PE (3)如图3,PB=PE还成立.理由如下:过点P作PM⊥BC交BC的延长线于点M,PN⊥CD的延长线于点N,∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,AC平分∠BCD,∵PM⊥BC,PN⊥CD,∴四边形PMCN为正方形,PM=PN,∴∠MPN=90°,∵∠BPE=90°,∠BCD=90°,∴∠BPM+∠BPN=90°,而∠BPN+∠EPN=90°,∴∠BPM=∠EPN,在△PBM和△PEN中,∴△PBM≌△PEN(ASA),∴PB=PE
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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