如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，过C的...

问题详情：

如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，D是AB延长线上一点，且BD=AB，∠A=30°，CE⊥AB于E，过C的直径交⊙O于点F，连接CD、BF、EF．

（1）求*：CD是⊙O的切线；

（2）求：tan∠BFE的值．

【回答】

【考点】切线的判定；解直角三角形．

【专题】综合题．

【分析】（1）要*CD是⊙O的切线，只要*OC⊥CD即可；

（2）过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，利用角之间的关系可得到AC∥BF，从而得到BH=EH=a，BE=2EH=2a，进而可得到BF的长，此时可求得FH的长，再根据正切的公式即可求得tan∠BFE的值．

【解答】（1）*：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠A=30°，

∴BC=，

∵OB=，BD=，

∴BC=OB=BD，

∴BC=，

∴OC⊥CD，

∵OC是半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过点E作EH⊥BF于H，设EH=a，

∵CF是⊙O直径，

∴∠CBF=90°=∠ACB，

∴∠CBF+∠ACB=180°，

∴AC∥BF，

∴∠ABF=∠A=30°，

∴BH=EH=a，BE=2EH=2a，

∵CE⊥AB于E，

∴∠A+∠ABC=90°=∠ECB+∠ABC，

∴∠ECB=∠A=30°，

∴BC=2BE=4a，

∵∠BFC=∠A=30°，∠CBF=90°，

∴BF==4a，

∴FH=BF﹣BH=4a﹣a=3a，

∴tan∠BFE===．

【点评】本题考查的是切线的判定，要*某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再*垂直即可．要熟知直角三角形的*质并熟练掌握三角函数值的求法．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题