已知四棱锥P―ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC...
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已知四棱锥P―ABCD的底面为直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1。
(I)*:面PAD⊥面PCD;
(II)求AC与PB所成角的余弦值;
(III)求面PAB与面PBC所成的二面角的大小。
【回答】
(I)*:∵PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
∴由三垂线定理,得CD⊥PD,
∵CD⊥AD,CD⊥PD,且PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD,
∵CD平面PCD,
∴面PAD⊥面PCD。
(II)解:过点B作BE//CA,且BE=CA,连结AE。
则∠PBE是AC与PB所成的角,
可求得AC=CB=BE=EA=。
又AB=2,所以四边形ACBE为正方形,∴BE⊥AE,
∵PA⊥底面ABCD。 ∴PA⊥BE,
∴BE⊥面PAE。
∴BE⊥PE,即∠PEB=90°
在Rt△PAB中,得PB=。
在Rt△PEB中,
(III)解:过点C作CN⊥AB于N,过点N作NM⊥PB于M,连结CM,
则MN是CM在面PAB上的*影。由三垂线定理,得CM⊥PB。
∴∠CMN为面PAB与面PBC所成的二面角的平面角。
可求得CN=1,CM=
知识点:空间几何体
题型:计算题
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