如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=,△ADP为等边三角形.(Ⅰ)求*:AD⊥PB;(Ⅱ...
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=,△ADP为等边三角形.
(Ⅰ)求*:AD⊥PB;
(Ⅱ)若AB=2,BP=,求点D到平面PBC的距离.
【回答】
【解析】(Ⅰ)取AD的中点O,连接PO,OB,*AD⊥平面PBO,从而得*.
(Ⅱ)∵AD//BC,∴PB⊥BC.
利用等体积变换,得VD-PBC=VP-DBC,从而求出D到平面PBC的距离.
(Ⅰ)取AD的中点O,连接OP,OB.
∵△ADP为等边三角形,∴PO⊥AD,∵AB=AD,∠DAB=,
∴△ADB为等边三角形,∴BO⊥AD.
又PO∩OB=O,∴AD⊥平面PBO.
又PB⊂平面PBO,∴AD⊥PB.(6分)
(Ⅱ)由条件知△ABD与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴OB=OP=.
又PB=,则PB2=OB2+OP2,∴OP⊥OB.
又OB∩AD=O,∴PO⊥平面ABD,
∵VD-PBC=VP-DBC=S△BDC·OP=××2××=1,
又AD∥BC,∴PB⊥BC,∴S△PBC=××2=,
设点D到平面PBC的距离为h,由S△PBC·h=1,解得h=.(12分)
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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