如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.(1)求...
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如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=,点E是棱PB的中点.
(1)求直线AD与平面PBC的距离;
(2)若AD=,求二面角AECD的平面角的余弦值.
【回答】
解析:(1)如图,以A为坐标原点,*线AB、AD,AP分别为x轴、y轴,z轴正半轴,建立空间直角坐标系Axyz.
设D(0,a,0),则B(,0,0),C(,a,0),P(0,0,),E.
因此,=,=(0,a,0),
=(,a,-).
则·=0,·=0,所以AE⊥平面PBC.
又由AD∥BC知AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,即为||=.
(2)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
因为=,=(,,0),
所以
令x1=-1,得y1=,z1=1,
所以n1=(-1,,1).
设平面EDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
因为=,=(-,0,0),
所以
令z2=,得y2=1.
所以n2=(0,1,).
故cos〈n1,n2〉==.
所以二面角AECD的平面角的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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