如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点...
问题详情:
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,
侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,E为PD中点,
AD=2.
(1)求*:平面AEC⊥平面PCD;
(2)若二面角A-PC-E的平面角大小θ满足,求四棱锥P-ABCD的体积.
【回答】
解:(1)取中点为,中点为,
由侧面为正三角形,且平面⊥平面,知⊥平面,故⊥,
又⊥,则⊥平面,所以⊥,
又∥,则⊥,又是中点,则⊥,
由线面垂直的判定定理知⊥平面,
又⊂平面,故平面⊥平面.……………………………………………5分
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,
令,则,.
由(1)知=为平面PCE的法向量,……………6分
令为平面PAC的法向量,
由于均与n垂直,
故即解得
故,………………………………………………8分
由,解得.………………………………10分
故四棱锥P-ABCD的体积V=SABCD·PO=·2·3·=.…………………………12分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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