如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠...

问题详情：

如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°的角，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝AD.

(1)求*：平面PCD⊥平面PAC ；

(2)设E是棱PD上一点，且PE＝PD，求异面直线AE与PB所成角的余弦值．

【回答】

 解：如图，建立空间直角坐标系A－xyz.

∵PA⊥平面ABCD，PB与平面ABC成60°，

∴∠PBA＝60°.

取AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0，)，D(0,2,0)．

.

∴AC⊥CD，AP⊥CD，

∴CD⊥平面PAC.

CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC.

(2)∵＝，∴E(0，，)，∴＝(0，，)．又＝(1,0，－)，∴·＝－2.

∴cos〈·〉＝＝＝－.

∴异面直线AE与PB所成角的余弦值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题