如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PC⊥底面ABCD,PC=AB...
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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PC⊥底面ABCD,PC=AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(Ⅰ)求*:平面EAC⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角P﹣AC﹣E的余弦值;
(Ⅲ)求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【回答】
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
【专题】空间角.
【分析】(Ⅰ)*AC⊥PC.AC⊥BC.通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理*平面EAC⊥平面PBC.
(Ⅱ)判断∠PCE为二面角P﹣AC﹣E的平面角,利用余弦定理即可求解.
(Ⅲ)作PF⊥CE,F为垂足.连接AF,说明∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角.然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC.
∵AB=2,AD=CD=1,∴AC=BC=.
∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又BC∩PC=C,∴AC⊥平面PBC.
∵AC⊂平面EAC,
∴平面EAC⊥平面PBC.…
(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC⊥平面PBC,
∴AC⊥CP,AC⊥CE,
∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角. …
∵PC=AB=2AD=2CD=2,
∴在△PCB中,可得PE=CE=,
∴cos∠PCE==. …
(Ⅲ)作PF⊥CE,F为垂足.
由(Ⅰ)知平面EAC⊥平面PBC,
∵平面平面EAC∩平面PBC=CE,
∴PF⊥平面EAC,连接AF,
则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角. …
由(Ⅱ)知CE=,∴PF=,
∴sin∠PAF==,
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为. …(13分)
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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