如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为...

问题详情：

如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．

（Ⅰ）求*：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由；

（Ⅲ）求二面角F–AE–P的余弦值．

【回答】

解：

（Ⅰ）由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，则PA⊥CD，

由题意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD. ……………………………………………4分

(Ⅱ) 取的中点，连接，则点为的中点，

又点为的中点，

所以∥.

又，

所以∥，且

又∥，且

所以∥，且.

所以四边形为平行四边形.

所以∥

所以∥

故直线AG在平面AEF内. …………………………………………………………………8分

(Ⅲ) 在平面上，过点作，垂足为，

因为，

所以

又CD⊥平面PAD

所以⊥平面PAD

又为等腰直角三角形，是的中点，

所以.

因此是二面角F-AE-P的平面角.

因为，所以.

又PA=AD =2，为等腰直角三角形，

所以

由勾股定理可得

故二面角F-AE-P的余弦值为.…………………………………………………………12分

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题