四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)*:PB∥平面AEC;(...
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四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)*:PB∥平面AEC;
(2)设,三棱锥的体积 ,求二面角D-AE-C的大小
【回答】
试题分析:(1)可先连结BD交AC于点O,连结EO,根据中位线*质可*EO//P,从而可得结论;(2)由三棱锥的体积,可得,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,分别求出平面DAE与平面ACE的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点
又E为的PD的中点,所以EO//PB
EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC
(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直
如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立空间直角坐标系A—xyz,
三棱锥的体积,
则A(0,0,0),D(0,,0),B(,0,0),E(0,,),C(,,0),
则=(0,,),=(,,0),设为平面ACE的法向量,
则即
令,得,,则 又为平面DAE的法向量,
,
如图可得二面角为锐角,所以二面角为
【方法点晴】本题主要考查线面平行以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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