.如图,在四棱锥P-ABCD中,E是PC的中点,底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PA...
问题详情:
.如图,在四棱锥P-ABCD中,E是PC的中点,底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,平面ABE与棱PD交于点.
(1)求*:EF∥平面PAB;
(2)若PB与平面ABCD所成角的正弦值为,求二面角P-AE-B的余弦值.
【回答】
【详解】(1)矩形ABCD中,AB∥CD,
∵AB⊄面PCD,CD⊂平面PCD,
∴AB∥平面PCD,
又AB⊂平面ABE,
平面PCD∩平面ABE=EF,
∴AB∥EF,
∵EF⊄面PAB,AB⊂平面PAB,
∴EF∥平面PAB.
(2)取AD中点O,连结OP,
∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,AB=4,AD=2,PA=PD,且平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥底面ABCD,连接OB,则OB为PB在平面ABCD内的*影,
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角,根据题意知sin∠PBO=,
∴tan∠PBO=,由题OB=,∴PO=2
取BC中点G,连接OG,以O为坐标原点,OA为x轴,在平面ABCD中,过O作AB的平行线为y轴,以OP为z轴,建立空间直角坐标系,
B(1,4,0),设P(0,0,2),C=(-1,4,0),E(-,2,1)
,
设平面PAE的法向量为,
于是,
令x=2,则y=1,z=1
∴平面PAE的一个法向量=(2,1,1),
同理平面ABE的一个法向量为=(2,0,3),
∴cos=
可知二面角P-AE-B为钝二面角
所以二面角P-AE-B的余弦值为-.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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