在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PB=PD.(1)*:BD⊥平面PAC;(2)...
问题详情:
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PB=PD.
(1)*:BD⊥平面PAC;
(2)若PA⊥CD,2PA=CD,求二面角D-PC-A的余弦值.
【回答】
(1)*见解析;(2).
【解析】
(1)通过*BD⊥PO和BD⊥AC即可*BD⊥平面PAC;
(2)取BC的中点E,分别以AE,AB,PA为x,y,z轴建立空间坐标系如图,利用向量法可求得.
【详解】
(1)*:设AC与BD的交点为O,连接PO,
因为PB=PD,所以BD⊥PO,
因为ABCD为菱形,所以BD⊥AC,
因为PO∩AC=O,PO,AC平面PAC,所以BD⊥平面PAC;
(2)因为BD⊥平面PAC,PA平面PAC,所以PA⊥BD,
又因为PA⊥CD,CD∩BD=D,CD,BD平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD,
取BC的中点E,分别以AE,AB,PA为x,y,z轴建立空间坐标系如图,
设PA=a,则CD=AC=2a,,所以,,
设平面PCD的一个法向量为,
则,得,令,得,
由因为BD⊥平面PAC,
所以为平面PAC的一个法向量,且,
设二面角A-PC-D的平面角为θ,则,
由图可知θ为锐角,所以.
【点睛】
本题考查线面垂直的*,考查向量法求面面角,属于中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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