如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且.(1)*:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=...
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如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且.
(1)*:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A−PB−C的余弦值.
【回答】
(1)见解析;(2).
【详解】
(1)由已知,得AB⊥AP,CD⊥PD.
由于AB//CD ,故AB⊥PD ,从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)在平面内作,垂足为,
由(1)可知,平面,故,可得平面.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.
由(1)及已知可得,,,.
所以,,,.
设是平面的法向量,则
即
可取.
设是平面的法向量,则
即可取.
则,
所以二面角的余弦值为.
【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面:
①求异面直线所成的角,关键是转化为两直线的方向向量的夹角;
②求直线与平面所成的角,关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角;
③求二面角,关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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