如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯...
问题详情:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,
底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.
(1)求B点到平面PCD的距离;
(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?
若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:在△PAD中,PA=PD,O为AD中点,∴PO⊥AD.
又∵侧面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD.
在△PAD中,PA⊥PD,PA=PD=,∴AD=2.
在直角梯形ABCD中,O为AD的中点,AB⊥AD,∴OC⊥AD.
以O为坐标原点,OC为x轴,OD为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则P(0,0,1),A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),
(1)∴=(1,-1,-1).
设平面PCD的法向量为u=(x,y,z),
则取z=1,得u=(1,1,1).
则B点到平面PCD的距离d==.
(2)设=λ(0≤λ≤1).∵=(0,1,-1),∴-==(0,λ,-λ),
∴=(0,λ,1-λ),∴Q(0,λ,1-λ).
设平面CAQ的法向量为m=(x,y,z),
则取z=1+λ,得m=(1-λ,λ-1,λ+1).
平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1),
∵二面角Q-AC-D的余弦值为,
∴|cos〈m,n〉|==.
整理化简,得3λ2-10λ+3=0.解得λ=或λ=3(舍去),∴存在,且=.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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