在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,PB=PD=2,AC∩BD=O.(Ⅰ)*:P...
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在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠BAD=60°,PB=PD=2,AC∩BD=O.
(Ⅰ)*:PC⊥BD
(Ⅱ)若E是PA的中点,且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为,求二面角A﹣EC﹣B的余弦值.
【回答】
*:(Ⅰ)因为底面是菱形,所以BD⊥AC.(1分) 又PB=PD,且O是BD中点,所以BD⊥PO.(2分)
PO∩AC=O,所以BD⊥面PAC.(3分) 又PC⊂面PAC,所以BD⊥PC.(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,OE是BE在面PAC上的*影, 所以∠OEB是BE与面PAC所成的角.
在Rt△BOE中,,BO=1,所以.
在Rt△PEO中,,,所以.
所以,又, 所以PO2+AO2=PA2,所以PO⊥AO.
又PO⊥BD,BD∩AO=O,所以PO⊥面ABCD.(6分)
如图,以建立空间直角坐标系,
,B(0,1,0),,,,,.(9分)
设面BEC的法向量为,则,
即,得方程的一组解为,
即.(10分)
又面AEC的一个法向量为,(11分)
所以,所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为.(12分)
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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