如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线...
问题详情:
如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,ADC=PAB=90°,BC=CD=AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(I)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
【回答】
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ) .
【分析】
试题分析:本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识,考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问,利用线面平行的定理,先*线线平行,再*线面平行;第二问,可以先找到线面角,再在三角形中解出正弦值,还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.
试题解析:(Ⅰ)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.
延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.
理由如下:
由已知,BC∥ED,且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE,CM 平面PBE,
所以CM∥平面PBE.
(说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点)
(Ⅱ)方法一:
由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE,交CE的延长线于点H,连接PH.
易知PA⊥平面ABCD,
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中,AEH=45°,AE=1,
所以AH=.
在Rt△PAH中,PH== ,
所以sinAPH= =.
方法二:
由已知,CD⊥PA,CD⊥AD,PAAD=A,
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
由PA⊥AB,可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1,则在Rt△PAD中,PA=AD=2.
作Ay⊥AD,以A为原点,以 ,的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),
所以=(1,0,-2), =(1,1,0),=(0,0,2)
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),
由 得 设x=2,解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α,则sinα= = .
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .
考点:线线平行、线面平行、向量法.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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