如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E...

问题详情：

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，E、F分别为PC、BD的中点．

（Ⅰ） 求*：EF∥平面PAD；

（Ⅱ） 求*：面PAB⊥平面PDC；

（Ⅲ） 在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．

【回答】

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

【专题】空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（I）*：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，*EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理*EF∥平面PAD；

（II）先*CD⊥PA，然后*PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理*PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．

（III）假设在线段AB上，存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，然后以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设G（1，a，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a值，即可得出结论．

【解答】*：（Ⅰ）连结AC∩BD=F，

ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．

∴在△CPA中，EF∥PA…

且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD∴EF∥平面PAD…

（Ⅱ）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD

ABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD

所以CD⊥平面PAD．

∴CD⊥PA…

又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，

且∠APD=90°　　即PA⊥PD

CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC

∴PA⊥面PDC

又PA⊂面PAB，

∴面PAB⊥面PDC．…..

（Ⅲ） 如图，取AD的中点O，连结OP，OF．

∵PA=PD，∴PO⊥AD．

∵侧面PAD⊥底面ABCD，

面PAD⊥面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，

又ABCD是正方形，故OF⊥AD．

∵PA=PD=AD，∴PA⊥PD，OP=OA=1．

以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．

若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，

连结PG，DG

设G（1，a，0）（0≤a≤2）．

由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为=（1，0，﹣1）．

设平面PGD的法向量为=（x，y，z）．

∵=（1，0，1），=（﹣2，﹣a，0），

∴由， =0可得，令x=1，则y=﹣，z=﹣1，

故=（1，﹣，﹣1），

∴cos==，

解得，a=．

所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用及二面角的平面角及求法，考查逻辑推理能力．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题