如图,已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.(1...
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如图,已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标;
(2)点M为坐标平面内一点,若MA=MB=MC,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点E,使∠ABE=∠ACB?若存在,求出满足条件的所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
详解:(1)把A(-3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+6得,
,解得
∴y=-2x2-4x+6,
令x=0,则y=6,
∴C(0,6);
(2)=-2(x+1)2+8,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1.
设H为线段AC的中点,故H(,3).
设直线AC的解析式为:y=kx+m,则有
,解得,,
∴y=2x+6
设过H点与AC垂直的直线解析式为:,
∴
∴b=
∴
∴当x=-1时,y=
∴M(-1,)
(3)①过点A作交y轴于点F,交CB的延长线于点D
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°
∴∠DAO=∠ACO
∵∠ACO=∠ACO
∴ΔAOF∽ΔCOA
∴
∴
∵OA=3,OC=6
∴
∴
直线AF的解析式为:
直线BC的解析式为:
∴,解得
∴
∴
∴∠ACB=
∵∠ABE=∠ACB
∴∠ABE=2
过点A作轴,连接BM交抛物线于点E
∵AB=4,∠ABE=2
∴AM=8
∴M(-3,8)
直线BM的解析式为:
∴,解得
∴y=6
∴E(-2,6)
②当点E在x轴下方时,过点E作,连接BE,设点E
∴∠ABE=2
∴m=-4或m=1(舍去)
可得E(-4,-10)
综上所述E1(-2,6),E2(-4,-10)
知识点:各地中考
题型:综合题
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