]如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线...
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] 如图T4-4,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.
图T4-4
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;
(3)条件同(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.
【回答】
解:(1)∵OC=2,OB=3,
∴C(0,2),B(3,0).
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+2,
将A(-1,0),B(3,0)代入得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)∵D为抛物线y=-x2+x+2的顶点,
∴D1,.
∵C(0,2),B(3,0),
∴①当四边形DCBP1为平行四边形时,BP1可由CD平移得到,由点C到点D横坐标加1个单位,纵坐标加个单位,得P14,;
②当四边形DP2CB为平行四边形时,CP2可由BD平移得到,由点B到点D横坐标减2个单位,纵坐标加个单位,得P2-2,;
③当四边形CP3BD为平行四边形时,BP3可由DC平移得到,由点D到点C横坐标减1个单位,纵坐标减个单位,得P3.
综上所述,当P的坐标为或或时,以B,C,D,P为顶点的四边形是平行四边形.
5.解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,2)代入解析式y=ax2+bx+c得,
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)连接AP,BP,
∵Pt,-t2+t+2,
∴PD=-t2+t+2,又AB=4,
∴S△ABP=×4×-t2+t+2
=-t2+t+4(0<t<3).
(3)①当△BOC∽△PDO时,
=,
∴=,
3t=2-t2+t+2,
4t2+t-12=0.
∴t1=(舍去),t2=.
∴P,.
②当△BOC∽△ODP时,
=,
∴=,
2t=3-t2+t+2,
t2-t-3=0.
∴t1=(舍去),
t2=,
∴P,.
综上所述,点P的坐标为,或,.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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